A meno che tu non lavori nei mercati obbligazionari o dei derivati, il termine “convessità” normalmente ti fa venire i mente qualche vecchia lezione di scuola o rimembra qualche discussione da nerd.
Per aumentare la nostra confusione, ha diversi alias: “curvatura”, “non linearità” e “gamma”. Si scopre che “convessità”, per una parola così elegante, è sorprendentemente accessibile.
Nell’approfondimento che ci apprestiamo a inziare, andremo a vedere:
Ma prima, definiamo cosa significa convessità in questo ambito.
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Se acquisti una quota di azioni per $50 e aumenta del 5%, guadagnerai $2,50. Guadagni il 5%. Se aumenta del 10%, guadagnerai del 10%. Il tuo profit/loss è proporzionale alla performance del titolo.
La leva finanziaria non ha alcun effetto sul fatto che la proprietà delle azioni abbia una ricompensa lineare. L’uso della la leva finanziaria può aumentare la volatilità della posizione ma non la linearità. Il Levered P/L nel grafico sottostante implica che acquisti lo stesso titolo ma utilizzi un margine del 50% (prendi in prestito $ 25 dai $ 50 necessari per acquistare il titolo). Quindi, se il titolo rende il 20% ($ 50 -> $ 60), guadagnerai il 40% ($ 10 di profitto su un investimento di $ 25). In altre parole, la tua pendenza P/L in relazione al titolo è 2 volte il rendimento senza leva.
I futures sono a leva perché sono negoziati a margine. Tuttavia, come le azioni, hanno un payoff lineare. E una casa? Se scommetti il 20% su una casa e questa si apprezza del 20%, guadagnerai il 100% sul tuo investimento. Se aumenta del 40%, guadagnerai il 200%. A causa della leva finanziaria, la tua pendenza P/L è 5x, ma soprattutto è costante. Il rise/run è sempre 5, giusto per avere un riferimento geometrico.
L’estinzione del mutuo può influire sulla pendenza, ma i cambiamenti nella pendenza non sono una proprietà intrinseca dell’investimento. La maggior parte delle attività che siamo abituati ad acquistare o vendere hanno guadagni lineari.
La leva aumenta la volatilità della posizione, ma la leva non implica convessità.
Molte persone hanno familiarità con il termine “delta” come l’opzione greca che rappresenta un rapporto di copertura. Fornisce una soluzione alla domanda: “Quanto cambierebbe il valore della mia opzione per ogni cambio di $ 1 in azioni?” Tale rapporto può essere utilizzato per calcolare quante azioni avrei bisogno per una posizione equivalente.
100 50% delta call equivalgono a 5.000 azioni (100 x 0,50 delta x 100 moltiplicatore di azioni per opzione). Se fossi ottimista, potrei acquistare il titolo e dichiarare di essere long per 5.000 delta. Potrei anche aver acquistato 100 call delta 50%. Tuttavia, direi che sono long 5.000 delta. Ciò mi consente di combinare entrambe le esposizioni nella dichiarazione “se il titolo aumenta di $ 1, guadagnerò $5.000”.
Il termine “delta” è ora utilizzato per descrivere un’esposizione. Non ci interessa se si tratta di stock o di opzioni o call. In entrambi i casi, vogliamo che le azioni salgano e sappiamo quanti soldi guadagneremo se lo farà.
Ogni cambio di dollaro nell’esempio azionario ha comportato un consistente cambiamento di P/L. Ciò è dovuto al fatto che la tua esposizione rimane costante. La tua esposizione è indicata come il tuo delta. Invece di fare riferimento alla sensibilità di un’opzione al suo titolo sottostante, ci riferiamo al delta come alla pendenza del tuo P/L rispetto al titolo. Possiamo ora generalizzare qualsiasi esposizione a un pendio.
Un comune call overwriter è il seguente:
Questa è la pendenza del tuo P/L in relazione allo stock. Se il titolo aumenta di $ 1, guadagnerai $ 2.400. Se il titolo scende di $ 1, perderai $ 2.400.
In effetti, è così che i professionisti selezionano e mixano le loro posizioni. Vogliono conoscere il loro delta totale o l’esposizione alle variazioni dei prezzi delle azioni. In effetti, i professionisti possono utilizzare la correlazione azionaria per stimare un delta netto rispetto, ad esempio, all’SP500. Un fondo che tenta di mantenere la neutralità del mercato può coprire un paniere di long che generano alfa con un ammontare pari a delta di future su indici short.
Un tipico rapporto di fine giornata potrebbe includere la migliore stima dell’azienda del delta relativo al Nasdaq, delta relativo all’SP500, delta relativo all’Eurostoxx e così via.
Vale la pena ripetere:
Considera una posizione come un “delta” – la pendenza del tuo profitto/perdita rispetto a un mercato.
Considera i delta di una posizione azionaria lunga rispetto a una posizione call lunga. Entrambi i luoghi hanno 5.000 delta.
Ora, supponiamo che il titolo abbia raggiunto i 100$. La posizione azionaria sta ancora producendo $ 5.000 per il cambio di $ 1 a $ 100. Tuttavia, la posizione call ora vale $ 10.000 ogni $ 1 di cambio.
Come mai?
Poiché lo strike 50 è finora in-the-money, le chiamate ora hanno un delta del 100%. Le call ora valgono quanto una posizione da 10.000 azioni! (100 call moltiplicate per 1,00 delta moltiplicato per 100 moltiplicatore di azioni). Il proprietario della call è attualmente long 10.000 delta. Il tuo delta per cambio di $ 1 è di $ 10.000, non di $ 5.000, a $ 100.
In confronto, l’azionista ha ancora solo 5.000 delta. Un’esposizione azionaria pura è un’esposizione lineare. Gli strumenti lineari hanno pendenze di mercato costanti. Sono innocui. Se sei lungo 5.000 delta azionari, non ti ritroverai improvvisamente lungo 10.000 delta. Azioni e futures sono entrambi strumenti delta al 100%. Il rapporto profit/loss, qui si muove di pari passo con il prezzo dell’asset.
Tuttavia, il payoff dell’opzione non è lineare poiché il tuo delta, o esposizione, sta cambiando. Questo è fondamentale per determinare la convessità. Non perché l’asset sia volatile, ma perché i payoff non sono lineari. I guadagni non sono lineari poiché il delta della tua posizione cambia. Di conseguenza, la pendenza del tuo P/L rispetto ai movimenti di mercato cambia.
Hai a che fare con un’esposizione non lineare se l’esposizione dello strumento cambia per lo stesso dato cambiamento.
La curvatura o convessità è un concetto utile poiché ci ricorda che siamo interessati alla forma di una ricompensa. La presenza della curvatura implica che la pendenza della tua ricompensa sta cambiando. Il tuo delta sta cambiando a causa del tempo, della volatilità e, in questi esempi, delle fluttuazioni dei prezzi delle attività.
Se la pendenza del payoff varia, il nostro P/L cambierà in risposta alle variazioni di una variabile o di un prezzo di attività.
Abbiamo visto prima che i P/L azionari sono costanti. Poiché i loro delta non fluttuano, hanno una pendenza costante. Il tuo conto profitti/perdite riflette le fluttuazioni delle azioni. È solo ponderato in base all’entità della tua posizione.
I delta delle opzioni cambiano. Sappiamo che un delta call può variare tra 0 e 100%. Supponiamo che un’azione venga scambiata a $ 40. Acquisti una strike call di 1 anno 50 con una volatilità del 16%. Il delta inizierà al 9%. La convessità è il concetto che il delta di quella call non rimane costante. Man mano che il mercato azionario sale, il tuo delta aumenta, permettendoti di guadagnare molto più di $ 0,09 per variazione di $ 1.
Possiamo notare la curvatura quando ingrandiamo il tipico grafico a forma di mazza da hockey del valore di un’opzione call rispetto all’azione. È la differenza tra l’ipotesi di un valore costante di $ 0,09 per dollaro e ciò che accade quando l’opzione diventa più sensibile al prezzo delle azioni.
Guidare a 30 mph per 30 minuti ti porterà a 15 miglia. Se acceleri a 60 mph dopo 10 minuti e mantieni quella velocità per altri 20 minuti, avrai percorso 25 miglia. La convessità è la differenza tra 25 miglia e la tua stima lineare originale di 15 miglia.
Nell’esempio, il tuo delta è la tua velocità in un dato momento. Il cambio di velocità quando hai cambiato marcia rappresentava un cambiamento di delta (e i grecofili riconosceranno l’accelerazione come gamma).
Torna all’esempio di call overwriter se vuoi mettere alla prova le tue conoscenze:
Puoi calcolare il tuo delta netto se il titolo sale e la chiamata diventa delta del 100%? Cosa succede se il titolo crolla e le chiamate diventano delta 0%? Il tuo delta netto indica quanto è sensibile il tuo profitto/perdita alle variazioni del prezzo delle azioni. Non sarà più $ 2.400 per $ 1.
Le obbligazioni hanno naturalmente payoff curvi in relazione ai tassi di interesse. Considera i seguenti termini per calcolare il valore corrente di una banconota:
Supponiamo di acquistare l’obbligazione quando i tassi di interesse sono al 5%. Guadagnerai un rendimento del 68% se i tassi di interesse scendono a zero. Perderai solo il 32% se i tassi di interesse saliranno al 10%.
Si scopre che quando i tassi di interesse diminuiscono, in realtà guadagni di più. Perdi denaro a un ritmo decrescente man mano che i tassi di interesse salgono. Quindi, ancora una volta, il tuo delta in relazione alle variazioni dei tassi di interesse. La durata è la controparte obbligazionaria del delta. È la risposta alla domanda: “Quanto cambia il valore della mia obbligazione per una variazione dell’1% dei tassi di interesse?”
Quindi, da dove ha origine il pagamento distorto delle obbligazioni? Il fatto che la durata dell’obbligazione varia con i tassi di interesse. Questo è simile a come è cambiato il delta delle opzioni call con l’aumento del prezzo delle azioni.
La linea rossa rappresenta la durata dell’obbligazione con rendimenti del 10%. Tuttavia, quando i tassi di interesse scendono, la durata delle obbligazioni aumenta, rendendo le obbligazioni più sensibili al calo dei tassi. La curvatura del pagamento è il risultato della tua posizione che è più sensibile al tasso. Al contrario, con le azioni, la sensibilità della tua posizione al prezzo rimane costante.
La convessità è un’idea sconcertante. Credo che l’idea sbagliata derivi dal fatto che le esposizioni convesse si traducono in profit/loss sensazionali (di solito perdite). È facile scambiarlo per enormi perdite perché sono state sfruttate solo in investimenti estremamente volatili. La confusione aumenta quando i P/L maggiori sono il risultato di un mix di leva finanziaria e convessità. Le opzioni sono caratteristiche che si vedono spesso negli stessi strumenti.
Per mantenere il concetto di convessità chiaro (guarda cosa ho fatto lì), non guardare solo a come una posizione reagisce al mercato. Questo fornisce semplicemente il tuo delta. Questo è un momento nel tempo. Istantaneo.
Invece, presta molta attenzione a come cambia la sensibilità del mercato della posizione. Sensibilità, delta e pendenza si riferiscono tutti allo stesso concetto. Hai a che fare con la convessità se la pendenza del tuo P/L cambia. P/L dovrebbe essere curvo.
Le curve sono esempi di funzioni esponenziali. L’anno è il 2020. Ormai tutti sanno quante volte si può piegare un pezzo di carta prima che raggiunga la luna. Comprendere la convessità è parte dei nostri tempi.
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